E aí, galerinha! Tudo lindo? Você já ouviu falar do termo Retângulo Áureo? Então, chama-se retângulo áureo qualquer retângulo ABCD (Figura 1) com a seguinte propriedade: se dele suprimirmos um quadrado, como ABFE, o retângulo restante, CDEF, será semelhante ao retângulo original.

Se a + b e a são os tamanhos dos lados do retângulo original, a definição acima fica assim:

Cara, esse tipo de retângulo tem muitas paradas interessantes que justificam o nome “áureo”- de ouro (Tipo...hã?!). Ele tem sido considerado pelos arquitetos e artistas como o retângulo mais bem proporcionado e bonito do mundo!

A Figura 2 reproduz a foto de uma residência suburbana de Paris, projetada por um arquiteto famoso arquiteto chamado Le Corbusier, na qual ele utiliza o retângulo áureo. Há aí dois retângulos áureos, um deles representado pelo corpo inteiro da casa e o outro, disposto verticalmente, representado pela parte da casa à esquerda da escada.

O Partenon (Figura 3), ou templo da deusa Atena, uma das mais admiradas obras da arquitetura universal, revela, na Figura 4, um quase exato retângulo áureo. Não há evidencia histórica de que, ao construir o templo no 5o século a.C., os arquitetos tenham conscientemente usado o retângulo áureo.

Mas, vamos voltar à relação (1). Dela decorre, por uma propriedade bem conhecida das proporções, que: 

Isto significa que se o retângulo de lados a + b e a é áureo, então também o retângulo de lados a e b também é! (Tipo...iradoooo!!!!!!)

Evidentemente o mesmo raciocínio se aplica para mostrar que também são áureos os retângulos de lados b e a – b, a – b e 2b – a, etc. (Fig. 5). Em outras palavras, dados os números positivos a e b, satisfazendo a relação (1),formemos a sequência a + b, a, b, a2, a3, ..., onde

a2 = a – b
a3 = b – a2 = 2b – a,
e, em geral
an= an– 2 – an– 1.

Trata da sequência:

a+ b, a, b, a – b, 2b – a, 2a – 3b,5b – 3a, 5a – 8b, 13b – 8a, ... (2)

Pois bem, o raciocínio anterior estabelece que quaisquer dois elementos consecutivos desta sequência são os lados de um retângulo áureo. Portanto, o processo anterior, de retirar quadrados de retângulos áureos, conduz a uma sequência infinita de retângulos áureos, com dimensões cada vez menores e tendendo a zero. 
E aí? Gostou?!  Então, vem pro meu mundooooo!!!!!!!